Estabilidad

Hablamos de estabilidad de mercados, estabilidad de sistemas, estabilidad de emociones. Todos estos sistemas pueden describirse en funcion de "estados" y variables de "estado". Lo que caracteriza y define a una variables de estado es que su valor no solo depende de las entradas de un sistema, sino también del valor anterior de estas variables, es decir de su estado anterior.

Ejemplos:

(1) El valor de las reservas monetarias de Chile no solo depende de cuantos dinero produjo el país y cuanto gasto el día de hoy. Sino de cuanto acumulo desde la independencia.

(2) El estado de animo de una persona no solo depende de la ultima noticia que recibió, también depende de si durmio bien, del estado de animo del día anterior, de si comio o nó, de las noticias que escucho antes etc.

(3) La velocidad y posición de un automóvil no solo depende del torque aplicado a las ruedas y las fuerzas de roce, sino de la velocidad y posición anterior.

Se puede apreciar que las variables de estado son variables con "memoria" que se modelan (cuando se pueden modelar) con ecuaciones diferenciales o ecuaciones de diferencias .

Cuando las variables de estado permanecen en un punto (derivada cero) es porque el sistema esta en equilibrio. Sin embargo no todo equilibrio es estable. Intuitivamente podemos pensar en ejemplos de equilibrios estables.

1) Una bolita detenida en el fondo de un vaso

2) La tierra orbitando el sol

Y también de equilibrios inestables

1) Una bolita equilibrada en la punta de un lápiz.

2) La economía de Europa.

3) Un borrachín en bicicleta

Queda el sistematizar los conceptos de estabilidad. A fines del siglo 19 Lyapunov, dio algunas definiciones. Para el la estabilidad era la tendencia de las variables de estado de un sistema de moverse hacia un punto de equilibrio cuando estas parten de condiciones iniciales dentro de una región vecina. Imagine que existe una vecindad donde las variables de estado que describen el sistema tienen valores iniciales arbitrarios, si estas variables de estado se dirigen exactamente hasta un punto de equilibrio, entonces se tiene "estabilidad asintótica", si no es así, pero las variables quedan orbitando el punto de equilibrio dentro de trayectorias acotadas tenemos "estabilidad" en un sentido más simple. Si la vecindad mencionada anteriormente incluye todo el dominio de las variables que describen el sistema la estabilidad es global, si no es estabilidad local.

Hasta este punto todo es relativamente simple de entender. Pero demostrar que un sistema es estable no lo es tanto. Lyapunov definió dos métodos, un método directo. Valido para sistemas autónomos lineales y no lineales y uno indirecto, que permite analizar estabilidad local a partir de una linealización. El método más general y que se presta para estudiar conceptos y hacer analogías fuera del ámbito de la ingeniería o las matemáticas es el directo, pero es más difícil de utilizar. El más usado en ingeniería es el indirecto, fácil de sistematizar pero sin la fuerza de conceptos del método directo.

El método directo o segundo método de Lyapunov busca una función (Función de Lyapunov, que se puede interpretar como una función de energía generalizada). Si esta función en la vecindad del punto de equilibrio (1) es definida positiva (todos sus valores positivos), (2) monótona creciente (alejándose del origen definido en el punto de operación la función crece) y (3) con derivada temporal definida negativa (en cualquier posición de las variables de estado la derivada de la función de Lyapunov es negativa) el punto es asintoticamente estable. Si la derivada temporal de la función de Lyapunov es semidiefinida positiva el sistema solo es estable.

Por ejemplo, una bolita que cae de una montaña pasa por diferentes puntos de equilibrio inestables y puede que quede a medio camino en un punto de estabilidad local o llegue al punto de estabilidad global alcanza el fondo del valle. Donde queda depende de la energía cinetica que trae y la energía potencial original.

Y porque los aburro con esto. Porque aunque las sociedades no se pueden modelar con ecuaciones diferenciales, si se pueden aplicar algunos conceptos.

La historia de los pueblos y sus corrientes de pensamiento son flujos en los que se puede pensar existe una energía cinética, es el peso de la historia. Y las diferencia entre las expectativas de los diferentes grupos sociales y su situación actual nos da las energías potenciales. Sociedades con problemas de arrastre "guerra reciente" "golpes" siguen en esa tónica por la energía cinética. Sociedades con altas expectativas respecto a su situación actual acumulan energía potencial. Si no creen miren lo que paso en Libia. Eso es algo a tener en cuenta. En Chile tenemos aún el trauma del pasado, de echarle la culpa de todo a lo que paso 10, 20, 40, 60 años atrás y también el de altas expectativas que no se si sea posible o conveniente satisfacer. Todo eso augura tiempos interesantes.

PD: Lyapunov tuvo una carrera académica exitosa, sin embargo cuando murió su esposa su vida completa se volvio inestable. Ese mismo día 31 de octubre de 1918 se pego un tiro que lo mato despues de tres días de agonía.